คณิตศาสตร์เสริม ( เลขเสริม )

บทที่ 1. จำนวนเชิงซ้อน

1. การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

2. สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

3. รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

4. กราฟและค่าสัมบรูณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

5. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

6. รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

7. สมการพหุนาม

. _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

ความน่าจะเป็น ม.5 (เทอม 2)

1. กฎการนับเบื้องต้น

2. ความน่าจะเป็น

2.1 การทดลองสุ่ม

2.2 เหตุการณ์

2.4 ความน่าจะเป็น

. _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

http://www.stat.rmutt.ac.th/kittipong/gen/summary/chap2_1_summary.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=e1eX27KK7-s

สรุป
https://sites.google.com/site/complexnumberinth/hna-4

การบวก ลบ คูณ หาร จำนวนเชิงซ้อน

อินเวอร์การคูณของจำนวนเชิงซ้อน

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

.

แบบฝึกทักษะ https://sites.google.com/site/complexnumberinth/cothy-serim-thaksa

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น คือการวัดหรือการประมาณความเป็นไปได้ว่า บางสิ่งบางอย่างจะเกิดขึ้น จะเป็นจริงมากเท่าใด ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 (โอกาส 0% หรือ จะไม่เกิดขึ้น) ไปจนถึง 1 (โอกาส 100% หรือ จะเกิดขึ้น) ระดับของความน่าจะเป็นที่สูงขึ้น คือความเป็นไปได้มากขึ้นที่เหตุการณ์นั้นจะเกิด หรือถ้ามองจากเงื่อนเวลาของการสุ่มตัวอย่าง คือจำนวนครั้งมากขึ้นที่เหตุการณ์เช่นนั้นคาดหวังว่าจะเกิด

บทที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง สมการพหุนามบางสมการ เช่น x²+ 1 = 0 ไม่มีคำตอบ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ และเรียกจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นใหม่ว่าจำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) ซึ่งนอกจากจะแก้ปัญหาในเรื่องการมีคำตอบของสมการพหุนามใดๆ แล้ว ยังสามารถนำไปประยุกต์อย่างกว้างขวางกับสาขาต่างๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ เช่น วงอิเล็กทรอนิกส์ กลศาสตร์ กลศาสตร์ของไหล ทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เป็นต้น

1.1 การสร้างจำนวนเชิงซ้อน (Construction of Complex Numbers )

จากการที่กล่าวข้างต้นว่า สมการพหุนาม X² + 1 = 0 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ่งขยายออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้ ดังนั้นจึงจะพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

บทนิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a, b) และ (c, d)

1. การเท่ากัน

(a , b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

2. การบวก

(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

3. การคูณ

เราอาจแทน

ด้วย (a, b)(c, d) ก็ได้

เซตของจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยสัญลักษณ์ C

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน(-1, 2) และ (3, - 4)

วิธีทำ ( - 1, 2)+(3 - 4) = ( - 1 + 3, 2 - 4)

= (2, - 2)

( - 1 , 2)(3, 4) = (( - 1)3 - 2( - 4), ( - 1)( - 4)+2.3)

= ( - 3 + 8 , 4+6)

= (5 , 10)

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (x , 0) จะเห็นว่า

(a , 0) + (b , 0) = (a + b , 0)

(a, 0 )(b , 0) =

= (ab, 0)

ซึ่งจะเหมือนกับการบวก และการคูณจำนวนจริง ฉะนั้นเราสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนในรูป (a , 0) ว่าเป็นจำนวนจริง a ตามข้อสังเกตนี้จะได้ว่า เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อเราแทนจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ด้วยจุด (a , b) ในระนาบ XY จะได้ว่าจำนวนจริง a แทนได้ด้วยจุด (a , 0) บนแกน X นั่นเอง

บทนิยาม

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a , b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง

เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) ของ z และแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และแทนด้วย Im(x)

จากบทนิยามนี้ อาจกล่าวได้ว่า จำนวนจริงก็คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number)

ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน (0, 1)

(0, 1) (0, 1) = (0 - 1, 0+0) = ( - 1, 0)

ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน ( - 1 , 0) คือจำนวนจริง - 1 นั่นเอง เขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (0, 1) ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้ว่า

I² = -1

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใดๆ

(a , b) = (a , 0) + (0, b)

= (a, 0) +(b, 0) (0, 1)

= a + bi

ฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อน (a, b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a+ bi

กำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆ เกี่ยวกับการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและคูณของจำนวนจริง และมีข้อมูลตกลงว่า I² = -1 เช่น

(a + bi) + (c + di) = (a+c)+(bi+di)

= (a+c) + (b+d)i

(a + bi)(c +di) = a(c+di)+bi(c+di)

= ac + adi + bci + bdi²

= (ac - bd) + (ad+bc)i

a + bi = c+ di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = b

ต่อไป เมื่อกล่าวว่า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะถือว่า a และ b เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน 3+ 2i และ 1 - i

วิธีทำ (3+ 2i) + (1 - i) = (3+1) + (2 - 1) i

= 4 + i

(3+2i) (1 - i) = 3(1 - i)+2i(1 - i)

= 3 - 3i + 2i + 2i²

= (3+2) + ( - 3+2) i

= 5 - i

ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนจริง a , b ทีทำให้ (a+2i) + ( - 1+2bi) = 3 + 8i

วิธีทำ เนื่องจาก (a + 2i) + ( - 1 + 2bi) = (a - 1) + (2+ 2b)i

ฉะนั้น a - 1 = 3 และ 2 + 2b = 8

ดังนั้น a = 4 และ b = 3

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลคูณ 1+ i , 2+ i และ - 1 + 3i

วิธีทำ (1+ i)(2+i)( - 1+3i) = [(2 - 1) + (1 + 2 ) i ] ( - 1 +3i)

= (1 + 3i) ( - 1 + 3i)

= ( - 1 - 9)+(3 - 3) i

= - 10 + 0i

= - 10

ข้อสังเกต เมื่อกำหนด i⁰ = 1แล้ว จะได้ สำหรับ m

I⁺

{0}

I^4m = 1, i^{4m + 1}= I , i^{4m + 2} = -1, i^{4m + 3} = i

สมบัติที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า Z₁, Z₂ , Z₃ ,เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้วจะได้ว่า

1. Z₁ + Z₂ = Z₂ + Z₁ และ Z₁Z₂ = Z₂Z₁(สมบัติการสลับที่)

2. Z₁ + (Z₂ + Z₃) = (Z₁+Z₂) + Z₃ และ Z₁(Z₂Z₃) = (Z₁Z₂) Z₃ (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)

3. Z₁(Z₂ + Z₃) = Z₁Z₂ + Z₁Z₃ (สมบัติการแจกแจง)

เตรียมทหาร 2560

วันอาทิตย์ที่ 27 ธันวาคม พ.ศ. 2558

เตรียมสอบ - ม.5 จำนวนเชิงซ้อน และ ความน่าจะเป็น - 28/12/58